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通过跟高斯“核”的结合，支持向量机可以表达出非常复杂的分类界线，从而达成很好的的分类效果。“核”事实上就是一种特殊的函数，最典型的特征就是可以将低维的空间映射到高维的空间。

我们如何在二维平面划分出一个圆形的分类界线？在二维平面可能会很困难，但是通过“核”可以将二维空间映射到三维空间，然后使用一个线性平面就可以达成类似效果。也就是说，二维平面划分出的非线性分类界线可以等价于三维平面的线性分类界线。于是，我们可以通过在三维空间中进行简单的线性划分就可以达到在二维平面中的非线性划分效果。

图  三维空间的切割

SVM的英文全称是Support Vector Machines，我们叫它支持向量机。支持向量机是我们用于分类的一种算法。让我们以一个小故事的形式，开启我们的SVM之旅吧。

在很久以前的情人节，一位大侠要去救他的爱人，但天空中的魔鬼和他玩了一个游戏。

魔鬼在桌子上似乎有规律放了两种颜色的球，说："你用一根棍分开它们？要求：尽量在放更多球之后，仍然适用。"

于是大侠这样放，干的不错？

然后魔鬼，又在桌上放了更多的球，似乎有一个球站错了阵营。显然，大侠需要对棍做出调整。

SVM就是试图把棍放在最佳位置，好让在棍的两边有尽可能大的间隙。这个间隙就是球到棍的距离。

现在好了，即使魔鬼放了更多的球，棍仍然是一个好的分界线。

魔鬼看到大侠已经学会了一个trick(方法、招式)，于是魔鬼给了大侠一个新的挑战。

现在，大侠没有棍可以很好帮他分开两种球了，现在怎么办呢？当然像所有武侠片中一样大侠桌子一拍，球飞到空中。然后，凭借大侠的轻功，大侠抓起一张纸，插到了两种球的中间。

现在，从空中的魔鬼的角度看这些球，这些球看起来像是被一条曲线分开了。

再之后，无聊的大人们，把这些球叫做data，把棍子叫做classifier, 找到最大间隙的trick叫做optimization，拍桌子叫做kernelling, 那张纸叫做hyperplane。

线性SVM

先看下线性可分的二分类问题。

上图中的(a)是已有的数据，红色和蓝色分别代表两个不同的类别。数据显然是线性可分的，但是将两类数据点分开的直线显然不止一条。上图的(b)和(c)分别给出了B、C两种不同的分类方案，其中黑色实线为分界线，术语称为“决策面”。每个决策面对应了一个线性分类器。虽然从分类结果上看，分类器A和分类器B的效果是相同的。但是他们的性能是有差距的，看下图：

在"决策面"不变的情况下，我又添加了一个红点。可以看到，分类器B依然能很好的分类结果，而分类器C则出现了分类错误。显然分类器B的"决策面"放置的位置优于分类器C的"决策面"放置的位置，SVM算法也是这么认为的，它的依据就是分类器B的分类间隔比分类器C的分类间隔大。这里涉及到第一个SVM独有的概念"分类间隔"。在保证决策面方向不变且不会出现错分样本的情况下移动决策面，会在原来的决策面两侧找到两个极限位置（越过该位置就会产生错分现象），如虚线所示。虚线的位置由决策面的方向和距离原决策面最近的几个样本的位置决定。而这两条平行虚线正中间的分界线就是在保持当前决策面方向不变的前提下的最优决策面。两条虚线之间的垂直距离就是这个最优决策面对应的分类间隔。显然每一个可能把数据集正确分开的方向都有一个最优决策面（有些方向无论如何移动决策面的位置也不可能将两类样本完全分开），而不同方向的最优决策面的分类间隔通常是不同的，那个具有“最大间隔”的决策面就是SVM要寻找的最优解。而这个真正的最优解对应的两侧虚线所穿过的样本点，就是SVM中的支持样本点，称为"支持向量"。

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